Главное меню

Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраическими критериями называются критерии, которые основаны на проверке определенных соотношений, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.

Поэтому при использовании алгебраических критериев нужно иметь только характеристическое уравнение вида:

Если исследование устойчивости проводится с помощью алгебраических критериев, нужно, прежде всего, проверить выполнение необходимого условия устойчивости, так как его проверка не требует никаких вычислений и при невыполнении этого условия дальнейших исследований проводить не нужно.

Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического уравнения были одного знака:

или (3)

Если необходимое условие не выполняется, то система неустойчива.

Если же необходимое условие выполняется, то система при n ³ 3 (n - порядок системы) может быть устойчивой и неустойчивой и для установления устойчивости нужно воспользоваться каким-либо критерием устойчивости. Как уже установлено, в случае систем первого и второго порядков необходимое условие (3) является и достаточным.

Перейдем к формулировке критерия Гурвица. Составим из коэффициентов характеристического уравнения определитель Гурвица п-го порядка

На главной диагонали к располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с и кончая . В каждом столбце при движении от элемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз – убывают. При этом на место элементов с индексами, превышающими п (при движении вверх), и отрицательными индексами (при движении вниз) проставляются нули.

Определители Гурвица – это миноры, входящие в главный определитель Гурвица

Запишем главные миноры определителя:

, , , …

Эти миноры, включая определитель называются определителями Гурвица. Примем для определенности . Это допущение не нарушает общности, так как если , то обе части характеристического уравнения можно умножить на —1.

Критерий Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, были больше нуля при

): , (2)

Из этого критерия следует, что при n =3 необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид:

, , ,

Следовательно, уже при п = 3 необходимое условие устойчивости (1) не является и достаточным. Для устойчивости систем третьего порядка кроме необходимого условия (3) должно выполняться неравенство , (т.е. разность между произведением средних коэффициентов и произведением крайних коэффициентов должна быть положительной).

Перейти на страницу: 1 2

Другое по теме:

Разработка и описание работы устройства на PIC-контроллере
Однокристальные микроконтроллеры стремительно занимают ведущее место в электронной аппаратуре. И если каких-нибудь десять лет назад они могли быть использованы при проектировании только профессионалами — слишком много требовалось д ...

Copyright © www.techproof.ru